Экономико-математическая модель управления финансовой активностью

Для класса экспоненциальных кривых, в отличие от полиномов, характерна зависимость приростов от величины самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие «лавинообразный» характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции.
Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид:

Если Ь > 1, то кривая растет вместе с ростом t и падает, если 0 < b < 1. Параметр а характеризует начальные условия развития, а параметр b — постоянный темп роста.

Действительно, темп роста

В данном случае


Соответственно и темпы прироста постоянны.

Можно показать, что логарифм ординаты этой функции линейно зависит от t, для этого прологарифмируем выражение (4):

Пусть In о = А In Ь = В, тогда In у{ = А+ 1В.
Теперь для оценивания неизвестных параметров можем использовать систему нормальных уравнений для прямой.
Иначе говоря, нормальные уравнения строятся исходя из минимизации:


Соответственно в нормальных уравнениях вместо фактических уровней выступают их логарифмы:

Найдем неизвестные параметры А и В. Зная значения А = ЬаиВ=пЬ, определим значения а и Ь и с помощью потенциирования получим показательнее функцию, служащую для выравнивания ряда.

Такой подход к оцениванию неизвестных параметров привлекает своей универсальностью. Однако следует иметь в виду, что полученные оценки параметров оказываются смещенными, так как при расчете участвуют не исходные уровни, а их логарифмы. Смещение будет тем значительнее, чем больше разность между последовательными уровнями динамического ряда. Не приводит к смещению в подобных случаях нелинейный метод наименьших квадратов.

Более сложным вариантом экспоненциальной кривой является логарифмическая парабола.

Прологарифмировав выражение (5), получим параболу

Таким образом, оценку параметров логарифмической параболы можно опять осуществить с помощью метода наименьших квадратов, используя систему нормальных уравнений для параболы. При этом остаются в силе сделанные выше замечания о смещении полученных оценок.

Все рассмотренные типы кривых используются для описания монотонно возрастающих или убывающих процессов без «насыщения».

Когда процесс характеризуется «насыщением», его следует описывать при помощи кривой, имеющей отличную от нуля асимптоту. Примером такой кривой может служить модифицированная экспонента:


где Y = к является горизонтальной асимптотой.
Если воздействие ограничивающего фактора начинает сказываться только после определенного момента (точки перегиба), до которого процесс развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для выравнивания используют Л-образные кривые.

Наиболее известными из них являются кривая Гомперца и логистическая кривая, или кривая Перла — Рида (. Кривая Гомперца имеет вид; Yt =к-аы. Кривая несимметрична. Если In a < О, то кривая имеет 5-образный вид, при этом асимптота, равная к, проходит выше кривой. Если In a > 0, асимптота, равная к, лежит ниже кривой, а сама кривая изменяется монотонно: при Ь < 1 монотонно убывает; при b > 1 монотонно возрастает. Для решения экономических задач наибольший интерес представляет вариант этой кривой In a < О wb< 1.

Уравнение логистической кривой получается путем замены модифицированной экспоненты Yt обратной величиной —- = к + а • bt.

Используется и другая форма записи уравнения логистической кривой. При t -> —°° ордината стремится к нулю, а при / -> « — к асимптоте, равной значению параметра к. Кривая симметрична относительно точки перегиба с координатами;