Границы премии опционов, в основе которых лежат акции, не выплачивающие дивиденты

а) Стоимость американского и европейского опционов колл к моменту истечения срока действия контрактов

Ответим на вопрос, сколько будет стоить опцион колл непосредственно перед истечением срока действия контракта. В этот момент его стоимость может принимать только два значения. Если Р < X, то премия опциона равна нулю, поскольку приобретение такого опциона не принесет инвестору никакой прибыли. Если Р >Х, то премия составит Р - X. При нарушении последнего соотношения возникает возможность совершить арбитражную операцию. Поясним сказанное на примерах.

Пример 1. Перед моментом истечения контракта цена опциона меньше его внутренней стоимости и равна 5 долл., цена исполнения — 100 долл., цена акции в данный момент — 110 долл.

Арбитражер поступит следующим образом: купит опцион, исполнит его и продаст акцию. Прибыль вкладчика составит 5 долл.

б) Верхняя граница премии американского и европейского
опционов колл

Определим общую верхнюю границу опционов колл. Верхняя граница премии опциона колл в любой момент времени действия контракта не должна быть больше цены спот акции, то есть:

c
где с — цена опциона колл;
S — цена спот акции.

При нарушении данного условия инвестор может совершить арбитражную операцию и получить прибыль: он купит акцию и одновременно выпишет на нее опцион. Другими словами, право на приобретение какого-либо товара не может стоить больше, чем сам этот товар.

в) Стоимость американского и европейского опционов пут
к моменту истечения срока действия контракта

Ответим на вопрос, сколько стоит опцион пут непосредственно перед истечением контракта. В этот момент его цена может принимать только два значения. Если Р >Х, премия равна нулю, если Р < X, она составит Р - X. При нарушении последнего условия возникает возможность совершить арбитражную операцию.

г) Верхняя граница премии американского и европейского
опционов пут

После того как мы определили величину премии опциона пут перед истечением контракта, установим общую верхнюю границу его стоимости.

Цена американского опциона пут в любой момент времени действия контракта не должна быть больше цены исполнения, то есть:

Ра<Х

где ра — цена американского опциона пут. В противном случае инвестор может получить прибыль без всякого риска.

д) Нижняя граница премии европейского опциона колл
Нижняя граница премии европейского опциона колл на акции, не выплачивающие дивиденды.

Данное утверждение можно доказать следующим образом. Предположим, имеется два портфеля. Портфель А состоит из европейского опциона колл с ценой исполнения X и облигации с нулевым купоном, которая не несет риск. В момент погашения облигации владельцу выплачивается ее номинал, равный X. При формировании портфеля облигация стоит X . В портфель Б входит одна акция.

Через время Т стоимость облигации возрастет до X. Если в этот момент цена акции Р будет больше X, инвестор исполнит опцион, и цена портфеля А составит Р. Если Р< X, то опцион не исполняется и стоимость портфеля равна X. Следовательно, к моменту истечения периода Т портфель А принимает максимальные значе-ния, которые равны Р или X.

Портфель Б по завершении периода Т равен Р. Поэтому в этот момент портфель А всегда стоит столько же или больше, чем портфель Б.

Таким образом, цена европейского опциона колл не может быть меньше цены спот акции минус дисконтированная стоимость цены исполнения.

ж) Раннее исполнение американского опциона колл. Нижняя граница премии американского опциона колл
Американский опцион колл может быть исполнен инвестором до истечения срока контракта. Ответим на вопрос, будет ли такое решение оптимальным, когда в основе опциона лежат акции, не выплачивающие дивиденды. Например, инвестор владеет опционом колл. Цена исполнения равна 65 долл., цена спот 80 долл., до истечения срока контракта остается два месяца. Как видно из примера, в случае немедленного исполнения опциона держатель получил бы прибыль, равную 15 долл. Однако данная стратегия вряд ли может быть расценена как оптимальная. Инвестору выгоднее поступить следующим образом: инвестировать 65 долл. на два месяца, чтобы получить дополнительный доход, исполнить опцион по истечении срока действия контракта. Поскольку акции не выплачивают дивиденды, то вкладчик не несет никаких потерь. Рассмотренный вариант является оптимальной стратегией, если инвестор планирует держать акции в случае исполнения опциона еще два месяца, то есть до истечения срока действия контракта.

Возможен вариант, когда инвестор сочтет, что цена спот акции завышена, и поэтому решит исполнить опцион, чтобы продать акцию. Однако данная стратегия также не является оптимальной. Держателю выгоднее продать опцион вместо его исполнения. Минимальная цена, которую получит продавец, будет больше, чем внутренняя стоимость опциона.

В противном случае возникает возможность получить прибыль за счет арбитражной операции.

Вышесказанное в общей форме можно доказать следующим образом. Имеются два портфеля. Портфель А состоит из одного американского опциона колл и облигации с нулевым купоном, равной X ег. В портфель Б входит одна акция. Если опцион исполняется раньше срока истечения контракта (время t), то портфель А всегда будет меньше портфеля Б. Если инвестор держит опцион до момента истечения контракта, то в зависимости оттого, больше цена слот цены исполнения или меньше, портфель А будет больше или равен портфелю Б. Таким образом, американский опцион колл, в основе которого лежат акции, по которым не выплачиваются дивиденды, не будет исполняться до даты истечения контракта. Поэтому цена американского и европейского опционов для таких акций одинакова, и нижняя граница премии американского и европейского опционов равны.