Поправка к модели ценообразования опционов — ограничение волатильности

Теперь вернемся к волатильности опционов и зададимся вопросом: как может волатильность опциона превышать историческую (статистическую) волатильность, если результаты от инвестиций в каждый из этих инструментов эквивалентны? И еще: почему при меньшей инвестиционной привлекательности по сравнению с акциями волатильность опционов сильно превышает историческую волатильность? Ответ напрашивается сам собой: модель ценообразования опционов перестает быть адекватной в условиях, когда инвестиции в опцион перестают выглядеть более привлекательной альтернативой в сравнении с инвестициями в акцию.

В связи с этим следует ввести дополнительное условие в основную модель Блэка — Шоулза ценообразования опциона, которое накладывает ограничения на величину подразумеваемой волатильности, используемой в формулировке.

1) Если стоимость опциона колл превышает размер маржи, требуемой для создания длинной позиции по базовому активу, то подразумеваемая волатильность равна исторической волатильности базового актива.

2)Если стоимость опциона пут превышает размер маржи,требуемой для создания короткой позиции по базовому
активу, то подразумеваемая волатильность равна исторической волатильности базового актива.

Безусловно, здесь перед нами возникает проблема, связанная с выяснением наиболее подходящего периода, применяемого для оценки исторической волатильности. Это задача не решается однозначно, потому что она напрямую связана с инвестиционным горизонтом. Чем он короче, тем меньший период следует использовать. В связи с этим надо заметить: в этом анализе нас мало интересует характер поведения исторической волатильности, важнее знать ее числовое значение в данный момент времени, поэтому период может быть достаточно малым, если вообще не единица.

Тем не менее, представляется разумным исходить из 20-ти и 5-периодных установок, отражающих ценовые колебания соответственно в месячном и недельном масштабе. В данном случае, когда до истечения опционов остается 7 календарных дней, корректно применить 5-периодную историческую волатильность, равную 57% для представленного выше примера — рынка акций и опционов на Microsoft, так как для ее оценки мы исключаем дни, когда рынок не работает.

Теперь, после внесения в модель поправок, вводящих для опционов колл «глубоко в деньгах» ограничение волатильности в 57%, рассмотренное ранее поведение подразумеваемой волатильности краткосрочных опционов на Microsoft примет другой вид .

Чтобы полностью завершить обсуждение вопроса относительно поведения подразумеваемой волатильности, обратимся к активу, отличающемуся высокой дискретностью цен исполнения. Очень симпатичным для подобных исследований является «куб» — ADR на Nasdaq — 100 (символ QQQ), торгующийся на АМЕХ (США), у которого цены исполнения расположены друг от друга на расстоянии 1 пункта (доллара).

Для изучения возьмем данные от 5 июля 2001 года, когда «куб» находился в стадии восстановления после весеннего падения, имея приблизительно равные шансы подняться или упасть на 20% от текущего уровня 45 долларов за акцию, где к тому времени уже месяц наблюдалась консолидация. Просмотр торгуемых опционов показывает, что исследовать коллы не имеет смысла — минимальная цена исполнения, котируемая на рынке, равна 25, что не представляет для нас интереса, так как состояние адекватности инвестиций в длинные акции и покупку опционов колл наступает при меньших значениях цен исполнения. Поэтому наше внимание сосредоточится на опционах пут. Итак, вычисления подразумеваемой волатильности для 43 —дневных опционов пут показало наличие ясно выраженной «улыбки волатильности».

Отклонения, наблюдаемые для волатильности, рассчитанной по ценам «бид», легко объясняются желанием маркет-мэйкеров покупать опционы по заведомо заниженным ценам. А что говорит историческая волатильность? Обратившись к ее значениям, мы узнаем: для 90—дневного периода она составляет почти 60%, 20—дневного— 36%, а 43—дневный период (два месяца) указывает на 42.3%. Вместе с тем, показатели подразумеваемой волатильности демонстрируют значительно более высокие значения, уверенно поднимаясь по мере того, как опционы пут погружаются «в деньги». Взяв за основу 42 — процентную волатильность для внесения поправок в профиль волатильности, мы получим иную версию характера поведения подразумеваемой волатильности опционов пут.

Остается заметить: представленная поправка к модели, связанная с внесением ограничений в показатели подразумеваемой волатильности, используемых в модели ценообразования опционов, является авторской новацией. По все вероятности, причина завышенных значений подразумеваемой волатильности обусловлена еще и способами вычисления кумулятивной функции нормального распределения, а также алгоритмом выяснения значений подразумеваемой волатильности по текущим рыночным ценам, о чем пойдет речь ниже.