Необходимая математика

Для полноценного понимания всех аспектов, связанных с использованием волатильности, нам придется неоднократно обращаться к расчетам, поэтому необходимо уделить немного внимания математическим основам, обратившись к наиболее распространенным концепциям. Для практической деятельности на финансовых рынках совсем необязательно в совершенстве разбираться в формулах, используемых для вычисления теоретической стоимости опционов, которая считается «справедливой». Тем не менее, чтобы в дальнейшем не возникало проблем, связанных с непониманием некоторых аспектов и алгоритмов вычисления, мы кратко рассмотрим некоторые модели ценообразования опционов. Обратимся к наиболее известной концепции определения опционной премии — ранее уже упомянутой модели Блэка — Шоулза.

Величина «В» представляет собой ставку издержек, идущих на поддержание инвестиционной позиции, в данном случае — базового инструмента. Так как каждый базовый инструмент, на который обращается опцион, имеет свои особенности, связанные с его ценообразованием: например, если сравнить принципы ценообразования фьючерсов разных сроков или по разным базовым активам, характером маржевых требований, их величиной и пр., — то для отдельных классов финансовых инструментов были сформулированы следующие правила.

В = R — стоимость удержания позиции равна ставке без риска. Это дает модель Блэка — Шоулза, применимую к опционам на обычные акции.

В = R — q — где «q» — дивидендная доходность. Эта поправка создает модель Мертона (Merton), учитывающую дивидендную доходность.

В = 0 — стоимость удержания позиции равна нулю. Это — модель Блэка (Black), применяемая для опционов на фьючерсы. В этом случае цена базового актива соответствует цене фьючерса.

В = R — Rf— здесь учитывается дифференциал ставок, по которым осуществляются выплаты по разным валютам. Эта модель применима для валют и известна как модель Гармана и Колхагена (Garman and Kolhagen).

Что мы имеем в своем распоряжении, если перед нами возникает задача оценки какоголибо опциона? Нам известно четыре параметра из пяти, которые мы в любой момент времени можем узнать либо определить, исходя из стоящей перед нами задачи. Рассмотрим последовательно каждый из них.

Текущая цена базового актива. Выяснение этого параметра — самое простое дело, и для определения его величины мы просто смотрим на рынок и выясняем существующие на нем цены. Единственным исключением является случай, когда мы исследуем историческую ретроспективу, и у нас возникает желание узнать, какова была стоимость опциона некоторое время тому назад. Если мы интересуемся фондовыми опционами, то берем цену акции, на которую обращается опцион. Если наши интересы сконцентрированы вокруг опционов на фьючерсы, то максимум, что нам может потребоваться дополнительно — это какова цена актива, на который выпущен фьючерс. Возможно, мы дополнительно посмотрим, как торгуются фьючерсы, обращающиеся на тот же базовый актив, но других серий.

Текущая ставка без риска. Этот показатель тоже прост, если сильно не углубляться в детали. В настоящее время сложилось мнение, что следует использовать ставку по краткосрочным государственным ценным бумагам, поэтому в США повсеместно ориентируются на ставку по 13 —недельным казначейским векселям (Т —Bill). Одно время существовало мнение о необходимости использовать ставку по долгосрочным ценным бумагам, в качестве которых наилучшим вариантом считались 30 —летние бонды. Сейчас, в эпоху сжатия периодов инвестирования, у этой версии мало аргументов. Промежуточная по своему содержанию версия базируется на необходимости использовать ставку, которая наблюдается у государственных ценных бумаг, чьи сроки обращения приблизительно совпадают с оставшимся периодом жизни данного опционного контракта.

Конечно, можно найти сложные ситуации, особенно на экзотических или развивающихся рынках. Например, как быть с опционами на российские бумаги, торгующиеся в долларах США? Этот вопрос не праздный, потому что на цену опциона будет оказывать влияние как ставка по рублю, так и по валюте. И если при фактическом отсутствии ставки без риска за ориентир по рублевой ставке предположительно можно принимать однодневную ставку межбанковских кредитов, то какая ставка должна использоваться при расчетах по доллару? Ставку в США, либо следует использовать ставку межбанковских кредитов внутри России? Ведь даже если мы возьмем за основу последний из названных вариантов, то здравый смысл подсказывает: при такой предпосылке операции нерезидентов на российском рынке вряд ли будут оценены справедливо. Чтобы понять это, достаточно посмотреть на ситуацию с их точки зрения: ведь им абсолютно безразлично, в какой рынок вкладывать деньги — функционирующий в США, Германии или России.

Кроме того, для нерезидентов, особенно ведущих транснациональную деятельность, стоимость капитала будет определяться, скорее всего, ставкой в США, а если это другая свободно конвертируемая валюта, то эквивалентной ей ставкой. В данной ситуации нам никуда не уйти от эффекта Фишера, поэтому в любом случае придется ориентироваться на процентную ставку по мировой резервной валюте. Таким образом, можно сделать вывод, что даже в столь сложной и неоднозначной ситуации логичнее использовать именно ставку по доллару, внося в случае необходимости поправки либо перекладывая решение этого вопроса на другие факторы влияния на цену опциона. Например на волатильность, что выглядит вполне разумно: повышенный риск обеспечивает увеличение изменчивости цен.

Таким образом, отодвинув в сторону сложные и прямо скажем — чрезвычайно редкие случаи для мирового рынка услуг капитала в целом, понятна однозначность проблемы. Мы просто берем ставку без риска, имеющуюся на денежном рынке. В идеальном варианте, если у нас есть доступ к соответствующим источникам данных, нам достаточно выяснить ставку процента, используемую биржевыми брокерами для расчета премии по фьючерсным контрактам. Некоторые пакеты технического анализа обеспечивают эту возможность, но по большей части такую информацию надо добывать самостоятельно, либо просто брать ставку по 13 —недельным казначейским векселям, которую имеет смысл корректировать, выясняя ее величину в терминах непрерывной ставки.

Цена исполнения опциона. Эту переменную мы назначаем сами, задаваясь целью выяснить, какова будет стоимость того или иного опциона. Фактически, вариации могут быть только от одного рынка к другому. Например, если цены исполнения фондовых опционов в США имеют интервал в 5 пунктов (долларов), то мы можем смело начинать исследование для всех цен исполнения, кратных пяти. В то же время, если для опционов на какойлибо фьючерсный контракт установлен шаг цены исполнения в 100 пунктов, то нам придется опираться на эту дискретность.

Время до истечения опциона. Этот фактор тоже задается правилами, действующими на определенном рынке, и на него не влияет ничего, кроме желания выяснить стоимость опциона другой серии.
Волатильность опциона. Изначально в модель вводилась волатильность базового актива, но ее скорее ассоциируют с волатильностью опционов, получившей особое название. Она известна как подразумеваемая волатильность {Implied Volatility), смысл которой: снабдить нас
информацией о будущей волатильности, то есть — предполагаемой в будущем. Известно, на финансовом рынке нет ничего постоянного, поэтому, как и всякий иной показатель, он может не оправдать возлагаемых на него надежд: предполагаемое движение цены базового актива не произойдет, означая бесполезное истечение опциона с безвозвратными потерями инвестиций в него. Таким образом, по своему содержанию подразумеваемая волатильность — плавающая переменная.

Торговцу волатильностью приходится постоянно иметь с ней дело, поэтому ее поведение следует изучить досконально, чем мы сейчас и займемся, рассмотрев прежде проблему определения ее величины.