Проблемы моделей

Проблемы моделей ценообразования опционов связаны с выдвигаемыми гипотезами. Например, классические предположения модели Блэка —Шоулза основаны на:

1) Отсутствии налогов и транзакционных издержек;

2) Отсутствии выплаты дивидендов по акциям в течение всего срока действия опциона;

3) Отсутствии ограничений на продажу акций с коротких позиций;

4) Существовании возможностей ссуд и займов при отсутствии риска;

5) Возможности мгновенно корректировать состав портфеля;

6) Исполнении опциона только по истечении срока.

Можно заметить: почти все положения, оказывавшие существенное влияние в прошлом, сегодня допустимо игнорировать, полагая ничтожность их воздействия. Действительно, операционные издержки неуклонно снижаются, и достаточно часто их разумно отнести к незначительно влияющим факторам. Прозрачность границ для инвесторов позволяет им действовать на иностранных рынках, выступая в качестве нерезидентов, что освобождает от налогового бремени. Кроме того, операции с опционами на многих рынках приводят к извлечению налоговых льгот, распространяющихся на другие инвестиционные активы, поэтому в большом числе случаев налоги оказывают малое влияние на стоимость опциона.

В 90-х годах цели инвесторов претерпели изменения, и получение дивидендов перестало быть актуальным, как это наблюдалось ранее.
Самый поверхностный обзор показывает: подавляющая часть компаний выплачивает невысокие дивиденды либо вовсе не прибегает к этому способу мотивации инвесторов. И как мы видели ранее, поправки к модели позволяют внести изменения в модель таким образом, чтобы дивиденды учитывались в стоимости опциона.

В настоящее время на развитых рынках практически отсутствуют ограничения на короткие позиции, более того — можно заметить тенденцию, способную привести к устранению даже такого ограничения, как продажа на «повышающемся тике» (up tick). Стремление расширить инвестиционные возможности привело к практически автоматической выдаче брокерами ссуд инвесторам, обеспечивая беспрепятственную возможность маржевой торговли. Торговая активность, стимулированная интернет-технологиями в инвестиционной индустрии и подкрепленная онлайновыми торговыми системами, позволяет инвесторам практически моментально совершать сделки, что эквивалентно по смыслу мгновенной корректировке портфеля.

Хотя основная модель предполагает исполнение опциона только по истечении срока, что представляется серьезным препятствием для ее применения к опционам американского стиля, тем не менее в большом числе случаев данное положение можно игнорировать. Во-первых,
практикуемый способ определения величины подразумеваемой волатильности затушевывает проблему. Во-вторых, пока опционы не оказались «глубоко в деньгах», риск досрочного исполнения невелик, поэтому ассоциативно можно полагать, что большинство опционных контрактов, оказавшихся «в деньгах», будет исполнено непосредственно в дату истечения, либо в непосредственной близости от нее — обычно в течение нескольких предшествующих дней. В-третьих, определенную часть опционов можно оценивать, игнорируя модель и основываясь на здравом смысле, — выше мы уже обсудили ситуацию с опционами, оказавшимися настолько «глубоко в деньгах», что подразумеваемая волатильность оказывается нереалистично высокой, если пытаться использовать стандартную модель.

Наиболее важное предположение, вводимое моделью Блэка —Шоулза, связано с гипотезой о логнормальности распределения цен. Аналогично построены и другие модели, предназначенные для оценки биржевых опционов. Это обоснованно, хотя в определенной степени спорно. Как результат, в различных источниках и программах, в зависимости от взгляда ее разработчиков на проблему, можно встретить вычисления цены опциона по той же модели Блэка — Шоулза, использующие как натуральный, так и десятичный логарифм.

С учетом особенностей специфического рынка могут закладываться другие гипотезы, связанные с характером распределения цен: нормального, Стьюдента, Парето либо какого-то другого. Например, предположение об экспоненциальной форме вероятностного распределения, строго говоря: распределения Паскаля, характеризующегося высоким центральным пиком и длинными «хвостами», — позволяет получить модель, неплохо проявляющую себя на казначейских бумагах.

Использование той или иной модели дает несколько различающую картину рынка и анализируемой позиции. В результате, выглядевшие заманчивыми, стратегии способны предстать в ином свете, выказывая свою неспособность делать деньги. Скажем, используя только что приведенные формулировки, основывающиеся на распределении Паскаля, мы получим более высокие стоимостные оценки опционов «вне денег» по сравнению с моделью Блэка — Шоулза или Блэка. В зависимости от степени расхождения между историческими и ожидаемыми оценками в отношении волатильности, стоимость опциона «у денег» может оказаться одинаковой, либо дать более высокую оценку для распределения Паскаля.

Но вот что интересно: какую бы модель мы ни взяли и какие бы вероятностные распределения ни применяли, нам всегда удастся получить стоимостную оценку, соответствующую текущему состоянию рынка, если будем выяснять подразумеваемую волатильность на основании последних рыночных котировок. А в модели, прибегающей к распределению Паскаля, — менять период или вводить предположения относительно будущей величины среднего абсолютного изменения цены, попутно включая поправки для «хвостов», а также растущего и снижающегося рынка. Можно попытаться выяснить стоимость опциона с помощью биномиальной модели, но в нее все равно придется вводить предположения о величине вероятного изменения цен. Таким образом, какая бы модель ни использовалась, нам всегда приходится выдвигать предположения относительно волатильности, которую мы пытаемся выяснить тем или иным образом, введя ее потом в какую-либо модель.